Aucun bilan des victimes n'était disponible dans l'immédiat après cette offensive, la première après plusieurs jours de conjectures sur le sort du chef des talibans, Akhtar Mansour, donné pour mort après une querelle interne qui aurait dégénéré.
"Les insurgés sont parvenus à faire une brèche dans le premier portail du complexe (aéroportuaire)", a indiqué à l'AFP Samim Khpalwak, un porte-parole du gouverneur de la province de Kandahar.
"Ils ont pris position dans une école à l'intérieur du complexe".
Selon le porte-parole de l'armée à Kandahar, Mohammad Mohsin Sultani, les soldats afghans affrontent un nombre indéterminé de combattants.
Les talibans ont revendiqué l'attaque, qui intervient à la veille de la visite du président afghan Ashraf Ghani au Pakistan à l'occasion de la conférence régionale Heart of Asia.
"Plusieurs candidats au martyre équipés d'armes légères et lourdes sont entrés dans l'aéroport de Kandahar et ils ont attaqué les forces de l'envahisseur", ont indiqué les talibans dans un communiqué. "Des combats féroces sont en cours".
La décision du président Ghani de se rendre à Islamabad laisse espérer des avancées vers une reprise du processus de paix entre Kaboul et les insurgés islamistes.
Le Pakistan, qui a une large influence sur les talibans, a accueilli une première session historique de pourparlers en juillet. Mais ceux-ci ont rapidement tourné court lorsque les talibans ont annoncé la mort de leur dirigeant historique, le mollah Omar, intervenue en 2013.
Plusieurs sources ont indiqué que son successeur Akhtar Mansour, dont la rapide nomination a été contestée, avait été grièvement blessé dans une fusillade pendant une réunion de cadres du mouvement taliban la semaine dernière au Pakistan.
Les talibans ont diffusé samedi un message audio présenté comme étant une déclaration du mollah Mansour, démentant avec véhémence toute fusillade entre chefs talibans.
Le président Ghani a également indiqué lundi qu'il n'y avait aucune preuve de la mort du mollah Mansour, mais plusieurs sources au sein du mouvement des talibans ont remis en question l'authenticité du message audio.
Les talibans, qui avaient annoncé la mort du mollah Omar avec plus d'un an de retard, semblent chercher à étouffer toute information sur une éventuelle disparition du mollah Mansour, qui attiserait les luttes de pouvoir dans un mouvement déjà profondément divisé.
Des combats fratricides avaient opposé le mois dernier les fidèles du mollah Mansour à une faction talibane dissidente, qui s'étaient choisie pour chef un rival, le mollah Mohammed Rassoul.
Avec AFP