Les premiers mots de M. Cameron depuis qu'il a annoncé vendredi sa démission, qui ne sera effective qu'à l'automne, seront scrutés de près, alors que son parti conservateur est en proie aux divisions.
Le parti travailliste est lui aussi en pleine tourmente. Son leader Jeremy Corbyn est très critiqué en interne mais a annoncé qu'il ne démissionnerait pas.
A l'extérieur, l'Union européenne, encore sous le choc, commence à s'impatienter et voudrait que la procédure de divorce s'engage rapidement, mais Londres compte prendre son temps.
Pour discuter des conséquences du Brexit, la chancelière allemande Angela Merkel doit recevoir lundi à Berlin le président du Conseil européen Donald Tusk, puis le président français François Hollande et le chef du gouvernement italien Matteo Renzi.
- 'Et maintenant ?' -
"Et maintenant ?", titrait dimanche le Sunday Times, résumant l'atmosphère de malaise dans laquelle est plongé le Royaume-Uni depuis le référendum qui a exacerbé les divisions identitaires et politiques et dopé les ambitions sécessionnistes des nationalistes écossais.
"Le Royaume-Uni pour lequel l'Ecosse a voté pour rester en 2014 n'existe plus", a déclaré sur la BBC la Première ministre écossaise Nicola Sturgeon. Elle souhaite un nouveau référendum sur l'indépendance de l'Ecosse après celui de 2014, où le "non" l'avait emporté.
En raison du Brexit, "le contexte et les circonstances ont complètement changé", a estimé Mme Sturgeon, soulignant que si l'ensemble des électeurs britanniques ont voté à 51,9% pour sortir de l'UE, les Ecossais, eux, ont nettement voté (62%) pour y rester.
Le Brexit a aussi déclenché des guerres intestines dans les deux principaux partis politiques britanniques.
Accusé de ne pas s'être assez engagé dans la défense de l'UE pendant la campagne, le chef des travaillistes Jeremy Corbyn affronte une forte contestation.
La crise ouverte au sein du principal parti de l'opposition a éclaté lorsqu'il a limogé Hilary Benn, l'un de ses adversaires au sein du parti. Dans la foulée, onze responsables du Labour ont démissionné dimanche en signe de protestation.
Mais M. Corbyn, élu à la tête du Labour en septembre 2015 à la surprise générale mais avec un fort soutien populaire, a annoncé qu'il ne démissionnerait pas malgré les critiques.
"Je ne vais pas trahir la confiance de ceux qui ont voté pour moi, ni celle des millions de personnes à travers le pays qui ont besoin que le Labour les représente", a-t-il déclaré dans un communiqué.
Toutefois une réunion houleuse l'attend lundi en fin de journée, lors de laquelle pourrait être examinée une motion de défiance à son encontre.
- L'UE veut accélérer le divorce -
La tempête touche également depuis vendredi le parti conservateur, où la guerre de succession a démarré.
Selon le journal The Observer, l'ex-maire de Londres et chef de file des pro-Brexit Boris Johnson se prépare à lancer l'offensive sur le parti, mais les partisans du "Remain" (rester) seraient bien décidés à l'arrêter.
Signe d'un Brexit qui a du mal à passer pour une partie des Britanniques, en particulier chez les jeunes, la pétition réclamant l'organisation d'un deuxième référendum dépassait dimanche après-midi les 3,2 millions de signataires.
En plus de ses affaires internes, le Royaume-Uni doit gérer les demandes pressantes des dirigeants et responsables de l'UE d'accélérer un divorce dont M. Cameron veut laisser la gestion à son successeur, lequel sera nommé début octobre lors du congrès du parti.
Mais alors que Martin Schulz, le président du Parlement européen, a exhorté dimanche M. Cameron à entamer la procédure de sortie de l'UE dès mardi à Bruxelles, où démarre un sommet des chefs d'Etat et de gouvernements européen de deux jours, une source officielle européenne a déclaré que ce ne serait pas le cas.
"Nous nous attendons à ce que Cameron présente les résultats du référendum", mais "nous ne nous attendons pas, à ce stade, à ce que Cameron déclenche l'article 50", la clause du traité de Lisbonne qui enclenchera la sortie du Royaume-Uni de l'UE, a déclaré cette source.
Samedi, les ministres des Affaires étrangères des six pays fondateurs de l'UE avaient pressé Londres de démarrer le processus de sortie "dès que possible".
Et le président de la Commission européenne, Jean-Claude Juncker, a exprimé l'impatience de Bruxelles. "Je ne comprends pas pourquoi le gouvernement britannique a besoin d'attendre jusqu'au mois d'octobre pour décider si oui ou non il envoie la lettre de divorce à Bruxelles. J'aimerais l'avoir immédiatement", a-t-il dit.
C'est dans ce contexte délicat que le secrétaire d'Etat américain John Kerry se rend lundi à Londres. M. Kerry a déclaré dimanche que les Etats-Unis auraient souhaité voir le Royaume-Uni "prendre une autre direction".
Avec AFP