Paris a proposé une résolution qui menace de sanctions les auteurs de ces troubles et appelle les parties à "rejeter toute forme de violence", lors d'une réunion du Conseil de sécurité à New York qui a duré près de trois heures et demie.
L'ambassadeur adjoint de la France auprès des Nations unies, Alexis Lamek, a appelé le Conseil à "agir" et à prendre "ses responsabilités".
"Si nous laissons l'escalade des tensions se produire sans rien faire, c'est tout le pays qui risque de s'embraser", a-t-il expliqué.
"Nous sommes très inquiets par ce que nous voyons au Burundi, cet accroissement de violences politiques et ce discours de haine dans une région où c'est particulièrement inquiétant", a-t-il dit.
Le texte, dont l'AFP a obtenu une copie, pourrait être soumis au vote dans les prochains jours.
Reste à savoir si la Russie et d'autres pays africains soutiendront les sanctions, certains considérant ces troubles comme des problèmes internes au pays.
L'ambassadeur adjoint de la Russie à l'ONU Petr Iliichev a répondu "non" quand on lui a demandé si des sanctions pourraient aider à résoudre la crise. "Nous devrions trouver une approche qui contribue au processus politique".
"Le Burundi ne brûle pas", a assuré devant le Conseil le ministre des Relations extérieures du Burundi, Alain Aimé Nyamitwe, qui s'exprimait par vidéo-conférence depuis Bujumbura.
"Tout le pays est calme et les citoyens vaquent à leurs activités dans la quiétude, excepté quelques endroits circonscrits dans certains quartiers de Bujumbura, où des petits groupes de criminels armés s'activent encore", a-t-il affirmé.
Le responsable burundais a promis que le dialogue avec l'opposition "allait se poursuivre" et demandé de ne pas recourir à des sanctions qui "radicalisent les points de vue".
- Ne pas laisser l'histoire se répéter -
L'ambassadeur britannique à l'ONU, Matthew Rycroft a réclamé des mesures fortes pour empêcher le pays de sombrer dans un génocide.
"Nous nous souvenons de ce qui s'est passé dans la région, dans le Rwanda voisin il y a 21 ans", a rappelé M. Rycroft. "Nous ne devons pas laisser l'histoire se répéter".
Le génocide au Rwanda a, en à peine cent jours entre avril et juillet 1994, fait environ 800.000 morts, essentiellement parmi la minorité Tutsi.
La communauté internationale craint des violences à grande échelle, certains durs du pouvoir ayant récemment multiplié les propos incendiaires aux connotations ethniques, dans un pays à l'histoire post-coloniale jalonnée de massacres entre Hutu et Tutsi.
Le Burundi est sorti il y a moins de dix ans d'une longue guerre civile qui a fait quelque 300.000 morts entre 1993 et 2006.
L'inquiétude a été renforcée par l'expiration samedi soir d'un ultimatum très ferme, lancé aux opposants à son troisième mandat, par le président Pierre Nkurunziza, qui semble décidé à en finir avec plus de six mois de contestation.
Tout en promettant l'amnistie à ceux qui "déposeraient les armes", M. Nkurunziza a averti qu'ensuite la police serait autorisée à user "de tous les moyens" pour désarmer les quartiers contestataires.
Le projet de résolution soutenu par Paris demande par ailleurs au secrétaire général Ban Ki-moon de présenter des mesures d'ici 15 jours visant au renforcement de la présence de l'ONU au Burundi. Ces mesures sont réclamées par les défenseurs des droits de l'Homme.
Au moins 240 personnes ont été tuées depuis avril, quand le président a annoncé qu'il briguait un troisième mandat, "avec des corps jetés dans les rues presque chaque nuit", a rapporté devant le Conseil le Haut-commissaire de l'ONU chargé des Droits de l'Homme, Zeid Ra'ad al-Hussein.
Le responsable onusien a estimé que les propos incendiaires de membres du gouvernement burundais pourraient faire prendre à la crise "une dimension ethnique".
Au moins deux personnes ont été tuées et un policier blessé lundi à Bujumbura, après la mort samedi de neuf autres personnes, dont un employé de l'ONU.
Ces neuf personnes ont été tuées dans l'attaque d'un bar de Kanyosha, un quartier d'opposants du sud de la capitale, dans un scénario qui fait penser à une exécution.
Avec AFP
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L'analyse de Philippe Bolopion, directeur auprès de l'ONU de Human Rights Watch