L'homme a été blessé par des militaires du dispositif de sécurité Sentinelle avant de prendre la fuite.
Selon une photo d'identité, le suspect a les yeux et les cheveux noirs, sourcils épais, et courte barbe.
Des témoins de l'attaque l'ont entendu crier "Allah Akbar", selon le procureur chargé de l'enquête.
"Il était pas à fond dans l'islam", a pourtant dit à l'AFP un homme de 22 ans qui habite dans la même petite cité d'immeubles en banlieue de la ville de Strasbourg. Ce voisin décrit un homme "discret, pas baraqué", qui habitait seul dans un petit appartement. Ses parents habitent aussi le quartier, précise-t-il.
Lire aussi : Trois morts dans une fusillade à Strasbourg en FranceSon immeuble - devant lequel étaient postés mercredi matin trois policiers et qui se situe au fond de cette petite cité de barres HLM - est particulièrement délabré et décrit comme un "immeuble de transit" par les voisins.
Né à Strasbourg en 1989, le tireur est fiché S depuis 2016 par les services antiterroristes, après un passage en prison de 2013 à 2015 au cours duquel il a attiré l'attention des services de renseignements pour des violences, pour la radicalisation de sa pratique religieuse, et son prosélytisme.
C'est à ce titre qu'il était suivi de "manière assez sérieuse" depuis sa sortie de prison fin 2015, a expliqué le secrétaire d'État à l'Intérieur Laurent Nuñez.
S'il a un casier judiciaire "assez important" (violences, vols, destructions...), ce "radicalisé" n'a "jamais été connu pour des délits liés au terrorisme", a insisté M. Nuñez, démentant que l'homme avait essayé de se rendre en Syrie.
Le secrétaire d'Etat a aussi appelé à la prudence quant à la motivation terroriste, pour l'heure "pas encore établie" même si la section antiterroriste du parquet de Paris s'est saisie de l'enquête.
Prison en France et en Allemagne
En prison, l'homme "incitait à la pratique de la religion sous une forme radicale, mais rien ne permettait de détecter un passage à l'acte dans sa vie courante", a ajouté le secrétaire d'Etat.
Sur son parcours carcéral, la ministre française de la Justice Nicole Belloubet a précisé qu'il avait "effectué en France deux peines de prison de deux ans chacune, qu'il avait purgées". "Il est sorti (de prison) il y a trois ans, de sa dernière condamnation", a-t-elle ajouté.
Avant l'attaque de mardi, le fuyard était déjà recherché dans une affaire de vol à main armée avec "sa bande de malfrats" en août 2018 "qui aurait mal tourné", avec une tentative d'homicide, selon une source proche.
Il devait pour cette affaire être interpellé mardi matin par les forces de l'ordre mais l'homme n'était pas chez lui. Une grenade et un pistolet ont été retrouvés à son domicile.
Selon les autorités allemandes, le suspect a aussi été condamné en Allemagne à "2 ans et 3 mois de prison en 2016 pour cambriolages". Il a purgé un peu plus d'un an en Allemagne avant d'être expulsé en France.
Selon le journal Tagesspiegel, il avait cambriolé un cabinet dentaire dans la ville de Mayence en 2012, où il avait notamment dérobé de l'argent liquide et des dents en or. Quatre ans plus tard, il s'en était pris à une pharmacie à Engen, près du lac de Constance.