M. Cameron présentera sa démission mercredi à la reine Elizabeth II après sa dernière prestation au Parlement, lors des questions hebdomadaires au Premier ministre en fin de matinée.
La nouvelle chef du gouvernement sera ainsi en fonction moins de trois semaines après le vote des Britanniques pour sortir de l'Union européenne, qui a poussé M. Cameron, partisan du maintien dans l'UE, à démissionner.
Mme May deviendra la deuxième Première ministre du pays après Margaret Thatcher (1979-1990).
"Theresa May et (le ministre des Finances) George Osborne ont rendu un vibrant hommage au Premier ministre", a déclaré le ministre de la Santé Jeremy Hunt à la presse en quittant le 10 Downing Street à l'issue du conseil des ministres.
David Cameron s'est dit lundi "ravi" de laisser les clés à Mme May, 59 ans, qualifiant sa remplaçante de "solide et compétente". Il lui confiera aussi la garde de Larry, 9 ans, le paresseux chat gris et blanc de Downing Street, a précisé un porte-parole de Downing Street.
Cette nomination a été précipitée par la décision surprise lundi de la secrétaire d'Etat Andrea Leadsom, pro-Brexit, de jeter l'éponge, quatre jours seulement après avoir été sélectionnée comme finaliste pour la succession de M. Cameron.
Mme May, qui s'était rangée dans le camp du maintien dans l'UE pendant la campagne référendaire, a affirmé lundi sa volonté de "négocier le meilleur accord" de sortie de l'UE et de faire jouer "un nouveau rôle dans le monde" à son pays.
"Brexit signifie Brexit et nous en ferons un succès", a-t-elle martelé.
Elle avait auparavant prévenu qu'elle ne comptait pas activer l'article 50 du Traité de Lisbonne -- qui permet de déclencher le processus de sortie de l'UE -- avant la fin de l'année.
La chancelière allemande Angela Merkel a demandé lundi soir au Royaume-Uni de clarifier "rapidement" ses intentions et le commissaire aux Affaires européennes Pierre Moscovici a appelé mardi Theresa May à hâter les discussions entre l'UE et le Royaume-Uni sur le Brexit.
'0,0004% de l'électorat'
Initialement, Theresa May et Andrea Leadsom auraient dû être départagées cet été par un vote des 150.000 adhérents du parti, pour une annonce du résultat le 9 septembre.
Mardi, le quotidien de gauche Daily Mirror a dénoncé un "couronnement" et appelé à de nouvelles élections législatives, à l'instar des Partis d'opposition travailliste, libéral-démocrate et Verts.
"Il est inacceptable que Theresa May entre à Downing Street demain après avoir été couronnée par un petit cercle de 199 députés conservateurs soit 0,0004 % de l'électorat" britannique, s'insurge le tabloïd.
Mais la semaine dernière, Mme May avait exclu de convoquer des élections anticipées, avant la prochaine échéance de 2020.
Le Times souligne lui, que Mme May a "moins de deux jours pour former son premier cabinet".
Selon les médias, l'actuel ministre des Affaires étrangères Philip Hammond pourrait hériter du poste de ministre des Finances occupé par George Osborne, qui le remplacerait lui au Foreign Office.
Son gouvernement devrait aussi comprendre plusieurs figures pro-Brexit, dans une tentative d'apaiser un parti conservateur qui s'est déchiré sur le référendum, et démontrer aux Britanniques qu'elle compte bien mettre en oeuvre ce pour quoi ils ont voté.
Le sort des trois principaux leaders de la campagne pro-Brexit Boris Johnson, Michael Gove et Andrea Leadsom, demeure toutefois incertain.
Côté travaillistes, la guerre des chefs se poursuit: lundi, la députée Angela Eagle a annoncé qu'elle allait se présenter contre Jeremy Corbyn pour lui succéder à la tête du principal parti d'opposition.
Triomphalement élu en septembre à la tête du Labour par les militants, M. Corbyn n'a jamais réussi à s'imposer auprès d'une majorité des cadres du parti, qui le jugent trop à gauche, et incapable de remporter des élections législatives.
Les critiques ont redoublé depuis le vote pour le Brexit, avec une motion de défiance de 170 députés travaillistes et la démission des deux tiers de son cabinet fantôme.
Le comité exécutif du parti doit se réunir en début d'après-midi pour décider si M. Corbyn peut automatiquement être candidat à son poste ou s'il doit recueillir le soutien de 50 députés pour concourir, ce qui pourrait s'avérer compliqué.
S'il est réélu, des experts prédisent une possible implosion du Labour.
Avec AFP
